1. Lineární prostor V
   1. pokud x je z V
      1. a*x je z V
   2. pokud y je z V
      1. x + y je take z V
         1. a*x + b*y je z V
            1. Lineární kombinace "x" a "y"
      2. b*y je z V
   3. Existuje báze
      1. každý prvek z V se dá zapsat jako Lineární kombinace báze
      2. počet prvků báze je dimenze V
      3. bázi si lze zvolit, není dána
   4. příklady
      1. R^2 - prostor všech uspořádaných dvojic reál. čísel
         1. {[1,0]; [0,1]}
         2. dimenze = 2
      2. R^3 prostor všech usp. trojic reál. čísel
         1. {[1,1,0]; [-1,1,0]; [0,0,1]}
         2. dimenze = 3
      3. prostor všech řešení rovnice x´´ + x = 0
         1. {sin t, cos t}
         2. dimenze = 2
2. rce 1. řádu je spec. případ
   1. všechno odsud platí i pro ni
3. Příklad
   1. kilovka na pružině
   2. kyvadlo
   3. LRC obvod
4. a2(t) y''(t) + a1(t)y'(t) + a0(t)y(t) = f(t)
   1. Zadáno
      1. interval I pro t
      2. interval H pro y(t)
      3. funkce f(t)
      4. t0 z I a y0, p0,... z H
   2. hledáme
      1. všechny možné funkce y(t)
      2. jednu funkci y(t) splňující y(t0) = y0, y'(t0) = p0, ...
   3. Obecné řešení
      1. obsahuje n volitelných konstant
      2. y(t) = yp(t) + C1*y1(t) + C2*y2(t) + ... + Cn*yn(t)
   4. Partikulární řešení
   5. Řešení poč. úlohy
      1. y(t) má n spojitých derivací
      2. platí dif. rce
      3. je splněno n poč. podmínek
5. Hledání řešení
   1. Charakteristická rce
      1. předpokládáme y(t)=exp(l*t)
      2. vyjde rovnice pro l
      3. l_1 ... l_n
         1. l_k jednoduchý kořen
            1. y_k(t) = exp(l_k*t)
         2. l_k je "r" násobný kořen
            1. y_k = exp(l_k*t), y_{k+1} = t*exp(l_k*t), ...
      4. dosadit l_k
      5. Máme n! lineárně nezávislých řešení
   2. odhad
      1. pravá strana speciální tvar
         1. f(t) = exp(a*t)*[Pm(t)*cos(b*t) + Qm(t)*sin(b*t)]
         2. Pm a Qm jsou polynomy stupne maximálně "m"
         3. může být m=0
         4. kritické číslo kc=a+i*b
      2. kritické číslo
         1. je řešením charakteristické rovnice
         2. není řešení charakteristické rovnice
      3. tvar řešení
         1. y_p(t) = exp(a*t)*[Rm(t)*cos(b*t) + Sm(t)*sin(b*t)]
         2. y_p(t) = t^r*exp(a*t)*[Rm(t)*cos(b*t) + Sm(t)*sin(b*t)]
         3. Rm(t) a Sm(t) polynomy stupně max. m
         4. dosadí se do rovnice a hledají se koeficienty polynomů Rm(t) a Sm(t)
   3. variace konstant
      1. xp(t) = C1(t)*z1(t) + C2(t)*z2(t) + ... + Cn(t)*zn(t)
      2. C1'(t)z1(t) + C2'(t)z2(t) + ... + Cn'(t)zn(t) = 0
      3. C1'(t)z1'(t) + C2'(t)z2'(t) + ... + Cn'(t)zn'(t) = 0
      4. ...
      5. C1'(t)z1'''''(t) + C2'(t)z2'''''(t) + ... + Cn'(t)zn'''''(t) = 0
         1. z1, z2, ..., zn jsou v (n-1)-té derivaci
      6. dosadím xp do rovnice
         1. vše se vyruší až na C1', C2', ..., Cn'
      7. vypočítám C1´, C2´, ..., Cn´
      8. integruji, a mám C1, C2, ..., Cn
6. s konstantními koeficienty
7. homogenní rce
   1. Každé řešení hom. rce je lin. kombinací fund. systému
8. fundamentální systém
   1. n lineárně nezávislých bázových fcí
   2. tvořen řešeními homog. rce
      1. Ne všemi
      2. n - lineárně nez. (pevně zvolenými)